Teorema
fundamental en la aritmética
En matemática,
y particularmente en la teoría de números, el teorema fundamental de la Aritmética o teorema de factorización única afirma
que todo entero positivo mayor que 1
es un número primo o bien un
único producto de números primos.
El teorema
establece la importancia de los números primos. Éstos son los «ladrillos
básicos» con los que se «construyen» los enteros positivos, en el sentido de
que todo entero positivo puede construirse como producto de números primos de
una única manera.
Conocer la
factorización en primos de un número permite encontrar todos sus divisores,
primos o compuestos. Por ejemplo, la factorización anteriormente dada de 6936
muestra
que cualquier
divisor positivo 6936 debe tener la forma: 2ª.3b.17c, donde 0 ≤ a ≤ 3 (4 valores posibles), 0 ≤ b ≤ 1 (2 valores posibles), y 0 ≤ c ≤ 2 (3 valores posibles).
Multiplicando el número de opciones independientes se obtiene un total de divisores
positivos
Una vez que se
conoce la factorización en primos de dos números, se pueden hallar fácilmente
su máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Por ejemplo, de las factorizaciones anteriores de 6936 y 1200 se puede
deducir que su máximo común divisor es 2³ · 3 = 24. Sin embargo, si no se
conoce la factorización en primos, usar elalgoritmo de Euclides en
general requiere muchos menos cálculos que factorizar los dos números.
El teorema
fundamental implica que las funciones aritméticas aditivas y multiplicativas están
completamente determinadas por sus valores en las potencias de los números primos.
Cualquier
número entero n mayor que 1 puede escribirse de manera
única, salvo el orden, como un producto de números primos.
